Экзаменационные вопросы

Аннотациярассмотрены экзаменационные вопросы по дисциплине: введение в дополнительные главы высшей математики, дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, точки покоя системы, моделирование динамических систем.
Скачать: PDF.
Ключевые слова: дополнительные главы высшей математики, дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, точки покоя системы, моделирование динамических систем.

Экзаменационный билет по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» будет включать три вопроса: 

  • детальный вопрос;
  • общий вопрос;
  • задача.

Часть 1 экзаменационного билета (детальный вопрос):

  • система, виды систем в зависимости от вида данных;
  • система, виды систем в зависимости от изменений;
  • моделирование систем;
  • моделирование систем на основе дифференциальных уравнений;
  • классификация динамических систем;
  • фазовые точки, пространство, портрет;
  • фазовый портрет и график решения в MatchCad;
  • виды дифференциальных уравнений для моделирования;
  • моделирование системы на основе дифференциальных уравнений 1-го порядка;
  • моделирование системы на основе дифференциальных уравнений высших порядков;
  • моделирование систем с использованием систем дифференциальных уравнений;
  • особые точки системы;
  • бифуркация системы;
  • устойчивость системы;
  • хаос;
  • примеры динамических систем;
  • общий вид дифференциального уравнения n-го порядка;
  • обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в производных;
  • решение дифференциального уравнения и интегральная кривая;
  • общее и частное решение дифференциального уравнения n-го порядка;
  • теорема Коши и ее интерпретация для дифференциального уравнения n-го порядка;
  • виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и способы их решения;
  • дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными;
  • дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными;
  • дифференциальные уравнения 1-го порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными;
  • однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка;
  • дифференциальные уравнения 1-го порядка приводящиеся к однородным;
  • обобщенные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка;
  • линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, решаемые методом Лагранжа;
  • численный метод Эйлера при решении дифференциальных уравнений 1-го порядка;
  • численный метод Рунге-Кутта при решении дифференциальных уравнений 1-го порядка;
  • функции Odesolve и Rkfixed в MathCad для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка;
  • пример решения дифференциальных уравнений 1-го порядка в MathCad;
  • дифференциальные уравнения высших порядков;
  • методы решения дифференциальных уравнений высших порядков;
  • метод понижения порядка дифференциальных уравнений;
  • метод понижения порядка дифференциальных уравнений без искомой функции y;
  • метод понижения порядка дифференциальных уравнений без переменной x;
  • линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и теорема о существовании решения;
  • однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков;
  • линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков и определитель Вронского;
  • линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
  • линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков;
  • линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка;
  • пример решения дифференциальных уравнений высших порядков в MathCad;
  • общий вид систем дифференциальных уравнений;
  • каноническая и нормальная системы дифференциальных уравнений;
  • решение нормальной системы дифференциальных уравнений;
  • задача Коши в системах дифференциальных уравнений;
  • общее и частное решение систем дифференциальных уравнений, а таке геометрический смысл;
  • метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений;
  • метод интегрируемых комбинаций для решения систем дифференциальных уравнений;
  • линейные системы дифференциальных уравнений и их свойства;
  • фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений;
  • общее решение линейной системы неоднородных дифференциальных уравнений;
  • метод Лагранжа для решения линейных однородных систем дифференциальных уравнений;
  • метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений;
  • матричный метод решения систем дифференциальных уравнений;
  • пример решения систем дифференциальных уравнений высших порядков в MathCad;
  • зависимость решения от начальных условий для дифференциального уравнения;
  • зависимость решения от начальных условий для системы дифференциальных уравнений;
  • локальная теорема существования системы дифференциальных уравнений;
  • продолжаемое решение и неограниченно продолженное решение;
  • основные понятия и определения устойчивости по Ляпунову для дифференциального уравнения;
  • устойчивость по Ляпунову для дифференциального уравнения;
  • неустойчивость по Ляпунову и геометрический смысл;
  • асимптотическая устойчивость дифференциального уравнения;
  • устойчивость по Ляпунову для системы дифференциальных уравнений;
  • асимптотическая устойчивость системы дифференциальных уравнений;
  • устойчивость автономных систем;
  • устойчивость точек покоя;
  • простейшие примеры точек покоя;
  • свойства устойчивости характеристического уравнения;
  • метод функций Ляпунова;
  • свойства функций Ляпунова;
  • теорема Ляпунова об устойчивости;
  • теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости;
  • теорема о неустойчивости;
  • устойчивость по первому приближению;
  • теорема устойчивости по первому приближению;
  • автономные дифференциальные уравнения;
  • стационарные точки и фазовая прямая;
  • убывающая функция и ее примеры;
  • виды точек покоя автономного дифференциального уравнения;
  • аттрактор;
  • репеллер;
  • шунт;
  • качественно эквивалентные автономные дифференциальные уравнения;
  • автономная система дифференциальных уравнений;
  • точки покоя системы дифференциальных уравнений;
  • классификация точек покоя системы дифференциальных уравнений;
  • центр;
  • фокус;
  • узел;
  • седло;
  • схема построения фазового портрета;
  • особенности построения фазового портрета узла;
  • особенности построения фазового портрета седла;
  • особенности построения фазового портрета фокуса;
  • особенности построения фазового портрета центра;
  • пример построения фазового портрета в MathCad;
  • самоорганизация;
  • динамическая система;
  • векторное поле;
  • примеры бифуркаций;
  • периодический режим, тор и хаос;
  • от бифуркации к хаосу;
  • сценарии перехода к хаосу;
  • осциллятор Дуффинга;
  • генератор Ван-Дер-Поля;
  • система Лоренца;
  • модель хищник-жертва.

Часть 2 экзаменационного билета (общий вопрос): 

  • введение в дополнительные главы высшей математики;
  • дифференциальные уравнения 1-го порядка;
  • дифференциальные уравнения высших порядков;
  • системы дифференциальных уравнений;
  • теория устойчивости;
  • точки покоя системы;
  • моделирование динамических систем.

Часть 3 экзаменационного билета (задача): 

  • решение дифференциальных уравнений первого порядка с использованием метода Эйлера k-го порядка;
  • решение обобщенных однородных дифференциальных уравнений с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка;
  • решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием метода Штермера;
  • определение точек покоя автономной динамической системы, заданной дифференциальным уравнением;
  • определение качественно эквивалентных дифференциальных уравнений динамической системы;
  • нахождение точек покоя автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений;
  • определение устойчивости автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений, на основе метода функций Ляпунова;
  • определение устойчивости автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений, по первому приближению.