Экзаменационные вопросы

Подробности

Опубликовано: 15.01.2019 10:38

Автор: Степанов Дмитрий Юрьевич

Просмотров: 2034

Аннотация: рассмотрены экзаменационные вопросы по дисциплине: введение в дополнительные главы высшей математики, дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, точки покоя системы, моделирование динамических систем.
Скачать: PDF.
Ключевые слова: дополнительные главы высшей математики, системы дифференциальных уравнений, теория устойчивости, точки покоя системы, моделирование динамических систем.

Экзаменационный билет по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» будет включать три вопроса: 

• детальный вопрос;
• общий вопрос;
• задача.

Часть 1 экзаменационного билета (детальный вопрос):

• система, виды систем в зависимости от вида данных;
• система, виды систем в зависимости от изменений;
• моделирование систем;
• моделирование систем на основе дифференциальных уравнений;
• классификация динамических систем;
• фазовые точки, пространство, портрет;
• фазовый портрет и график решения в MatchCad;
• виды дифференциальных уравнений для моделирования;
• моделирование системы на основе дифференциальных уравнений 1-го порядка;
• моделирование системы на основе дифференциальных уравнений высших порядков;
• моделирование систем с использованием систем дифференциальных уравнений;
• особые точки системы;
• бифуркация системы;
• устойчивость системы;
• хаос;
• примеры динамических систем;
  

• общий вид дифференциального уравнения n-го порядка;
• обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в производных;
• решение дифференциального уравнения и интегральная кривая;
• общее и частное решение дифференциального уравнения n-го порядка;
• теорема Коши и ее интерпретация для дифференциального уравнения n-го порядка;
• виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и способы их решения;
• дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными;
• дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными;
• дифференциальные уравнения 1-го порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными;
• однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка;
• дифференциальные уравнения 1-го порядка приводящиеся к однородным;
• обобщенные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка;
• линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, решаемые методом Лагранжа;
• численный метод Эйлера при решении дифференциальных уравнений 1-го порядка;
• численный метод Рунге-Кутта при решении дифференциальных уравнений 1-го порядка;
• функции Odesolve и Rkfixed в MathCad для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка;
• пример решения дифференциальных уравнений 1-го порядка в MathCad;

• дифференциальные уравнения высших порядков;
• методы решения дифференциальных уравнений высших порядков;
• метод понижения порядка дифференциальных уравнений;
• метод понижения порядка дифференциальных уравнений без искомой функции y;
• метод понижения порядка дифференциальных уравнений без переменной x;
• линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и теорема о существовании решения;
• однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков;
• линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков и определитель Вронского;
• линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
• линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков;
• линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка;
• пример решения дифференциальных уравнений высших порядков в MathCad;

• общий вид систем дифференциальных уравнений;
• каноническая и нормальная системы дифференциальных уравнений;
• решение нормальной системы дифференциальных уравнений;
• задача Коши в системах дифференциальных уравнений;
• общее и частное решение систем дифференциальных уравнений, а таке геометрический смысл;
• метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений;
• метод интегрируемых комбинаций для решения систем дифференциальных уравнений;
• линейные системы дифференциальных уравнений и их свойства;
• фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений;
• общее решение линейной системы неоднородных дифференциальных уравнений;
• метод Лагранжа для решения линейных однородных систем дифференциальных уравнений;
• метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений;
• матричный метод решения систем дифференциальных уравнений;
• пример решения систем дифференциальных уравнений высших порядков в MathCad;

• зависимость решения от начальных условий для дифференциального уравнения;
• зависимость решения от начальных условий для системы дифференциальных уравнений;
• локальная теорема существования системы дифференциальных уравнений;
• продолжаемое решение и неограниченно продолженное решение;
• основные понятия и определения устойчивости по Ляпунову для дифференциального уравнения;
• устойчивость по Ляпунову для дифференциального уравнения;
• неустойчивость по Ляпунову и геометрический смысл;
• асимптотическая устойчивость дифференциального уравнения;
• устойчивость по Ляпунову для системы дифференциальных уравнений;
• асимптотическая устойчивость системы дифференциальных уравнений;
• устойчивость автономных систем;
• устойчивость точек покоя;
• простейшие примеры точек покоя;
• свойства устойчивости характеристического уравнения;
• метод функций Ляпунова;
• свойства функций Ляпунова;
• теорема Ляпунова об устойчивости;
• теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости;
• теорема о неустойчивости;
• устойчивость по первому приближению;
• теорема устойчивости по первому приближению;

• автономные дифференциальные уравнения;
• стационарные точки и фазовая прямая;
• убывающая функция и ее примеры;
• виды точек покоя автономного дифференциального уравнения;
• аттрактор;
• репеллер;
• шунт;
• качественно эквивалентные автономные дифференциальные уравнения;
• автономная система дифференциальных уравнений;
• точки покоя системы дифференциальных уравнений;
• классификация точек покоя системы дифференциальных уравнений;
• центр;
• фокус;
• узел;
• седло;
• схема построения фазового портрета;
• особенности построения фазового портрета узла;
• особенности построения фазового портрета седла;
• особенности построения фазового портрета фокуса;
• особенности построения фазового портрета центра;
• пример построения фазового портрета в MathCad;

• самоорганизация;
• динамическая система;
• векторное поле;
• примеры бифуркаций;
• периодический режим, тор и хаос;
• от бифуркации к хаосу;
• сценарии перехода к хаосу;
• осциллятор Дуффинга;
• генератор Ван-Дер-Поля;
• система Лоренца;
• модель хищник-жертва.

Часть 2 экзаменационного билета (общий вопрос): 

• введение в дополнительные главы высшей математики;
• дифференциальные уравнения 1-го порядка;
• дифференциальные уравнения высших порядков;
• системы дифференциальных уравнений;
• теория устойчивости;
• точки покоя системы;
• моделирование динамических систем.

Часть 3 экзаменационного билета (задача): 

• решение дифференциальных уравнений первого порядка с использованием метода Эйлера k-го порядка;
• решение обобщенных однородных дифференциальных уравнений с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка;
• решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием метода Штермера;
• определение точек покоя автономной динамической системы, заданной дифференциальным уравнением;
• определение качественно эквивалентных дифференциальных уравнений динамической системы;
• нахождение точек покоя автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений;
• определение устойчивости автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений, на основе метода функций Ляпунова;
• определение устойчивости автономной динамической системы, заданной системой дифференциальных уравнений, по первому приближению.